La solución es corta, pero puede verse algo dificultosa así que brindamos comentarios extendidos:

let sortedRows = Array.from(table.tBodies[0].rows) // 1
  .sort((rowA, rowB) => rowA.cells[0].innerHTML.localeCompare(rowB.cells[0].innerHTML));

table.tBodies[0].append(...sortedRows); // (3)

El algoritmo paso a paso:

1. Obtener todos los <tr> de <tbody>.
2. Entonces ordenarlos comparando por el contenido de su primer <td> (el campo nombre).
3. Ahora insertar nodos en el orden correcto con .append(...sortedRows).

No necesitamos quitar los elementos row, simplemente “reinsertarlos”, ellos dejan el viejo lugar automáticamente.

P.S. En nuestro caso, hay un <tbody> explícito en la tabla, pero incluso si la tabla HTML no tiene <tbody>, la estructura DOM siempre lo tiene.

Abrir la solución en un entorno controlado.