La soluzione è breve, ma potrebbe sembrare difficile, quindi la commenteremo in dettaglio:

let sortedRows = Array.from(table.tBodies[0].rows) // 1
  .sort((rowA, rowB) => rowA.cells[0].innerHTML.localeCompare(rowB.cells[0].innerHTML));

table.tBodies[0].append(...sortedRows); // (3)

L’algoritmo passo per passo:

1. Trova tutti i <tr> dentro <tbody>.
2. Ordinali comparando il contenuto del primo <td> (il campo con il nome).
3. Ora inserisci i nodi nel giusto ordine con .append(...sortedRows).

Non dobbiamo rimuovere gli elementi della fila, solo “re-inserirli”, lasciano automaticamente il vecchio posto.

P.S. Nel nostro caso c’è un esplicito <tbody> nella tabella; ma se anche non vi fosse, la struttura DOM lo include sempre e comunque.

Apri la soluzione in una sandbox.